JANGAN JAWAB KALAU HANYA CARI POIN ATAU SEKEDAR JAWAB GAKTAU ATAU JAWAB TANPA CARA, MAKASIH :) Pertidaksamaan Irasional Buktikan bahwa : [tex] 1 + \dfrac{1}{\sq

Bentuk umumnya adalah
1/√n

dengan n adalah bilangan bulat dari 1,2,3 .. dst.
Jadi, bentuknya adalah
1/√1 + 1√2 + 1/√3 + 1/√4 < 2√n

Pembuktian :
Misalkan n = 3

Maka,
1/√1 + 1/√2 + 1/√3 < 2√3

kuadratkan semua ruas.

Sehingga menjadi

1/1 + 1/2 + 1/3 < 4(3)
1 + 1/2 + 1/3 < 12
penyebut baru ruas kiri adalah 6
(6+3+2)/6 < 12
11/6 < 12
1,83 < 12 (TERBUKTI)

Materi Induksi Matematika

Basis Induksi:
[tex] P(n): 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} +~ \cdot \cdot \cdot ~ + \dfrac{1}{\sqrt{n}} ~\textless~ 2 \sqrt{n} [/tex]
Untuk n = 1, P(1): 1 < 2 (benar)

Langkah Induksi:
Asumsikan n = k, sehingga
[tex] P(k): 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} +~ \cdot \cdot \cdot ~ + \dfrac{1}{\sqrt{k}} ~\textless~ 2 \sqrt{k} [/tex]
bernilai benar.
Harus ditunjukkan bahwa
[tex] P(k+1): 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} +~ \cdot \cdot \cdot ~ + \dfrac{1}{\sqrt{k}} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}~\textless~ 2 \sqrt{k+1} [/tex]
Sekarang, perhatikan bahwa
[tex] 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} +~ \cdot \cdot \cdot ~ + \dfrac{1}{\sqrt{k}} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} ~\textless~ 2 \sqrt{k} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \\ [/tex]
Tinjau ruas kanan
[tex] 2 \sqrt{k} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \\ = \dfrac{2 \sqrt{k^2+k} + 1}{\sqrt{k+1}} \\ < \dfrac{2 \sqrt{k^2+k+\dfrac{1}{4}} + 1}{\sqrt{k+1}} \\= \dfrac{2(k+\dfrac{1}{2})+1}{\sqrt{k+1}} \\ = \dfrac{2(k+1)}{\sqrt{k+1}} \\ = 2 \sqrt{k+1} [/tex]
Ternyata, kebenaran P(k) mengimplikasikan P(k+1). Menurut prinsip IM, P(n) benar untuk semua n bilangan asli.